第2題
01newbie wrote:經過複雜的分析與計算，
經過複雜的分析與計算，
我應該是算出來了，
不過我認為有更容易的算法。
我應該是算出來了，
不過我認為有更容易的算法。
為防字型跑掉，以圖代文：
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原文：
令 aᵢⱼ 為 第 i 列第 j 個元素
a₁ⱼ = j
a₂ⱼ = (j) + (j + 1) = 2j + 1
a₃ⱼ = (2j + 1) + (2(j + 1) + 1) = 2(2)j + 2(1) + (2) = 4j + 4
a₄ⱼ = (4j + 4) + (4(j + 1) + 4) = 2(4)j + 2(4) + (4) = 8j + 12
經過一些計算 ($) 可得 aᵢⱼ = 2ⁱ⁻¹ j + (i - 1) 2ⁱ⁻²
所以 aₙ₁ = (n + 1) 2ⁿ⁻² #
-
($):
令 aᵢⱼ = bᵢ j + cᵢ
b₁ = 1
c₁ = 0
bᵢ = 2 bᵢ₋₁, i >= 2
cᵢ = 2 cᵢ₋₁ + bᵢ₋₁, i >= 2
=> bᵢ = 2ⁱ⁻¹, i >= 1
=> cᵢ = 2 cᵢ₋₁ + 2ⁱ⁻², i >= 2
=> cᵢ = (i - 1) 2ⁱ⁻², i >= 1
=> aᵢⱼ = 2ⁱ⁻¹ j + (i - 1) 2ⁱ⁻²
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