以下的辦法是我自己想的
或許早有人用過
就這樣吧
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我們分析一個帶有極值的函數
可以使用泰勒級數或傅立葉或有限元素分析
但我用的不是上述三種辦法
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微積分學有教過
求一個函數極點X軸位置的辦法,是微分該函數後令其為零,然後求解出X
舉例
Y=((X^3)/3)-X ,要求極點,先微該函數,dY/dX=X^2-1=(X+1)(X-1)
再令其為零,令(X+1)(X-1)=0,求得極點的位置為X=1,-1
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使用上述的方法
我們可以求的sinX在區間[0,2pi]的近似值
sinX為週期函數
極大值[0,infinite]為X=pi/2,5*pi/2...........=1
極小值[0,infinite]為X=3*pi/2,7*pi/2...........=-1
若只看區間[0.2pi],有兩個極值X=pi/2,X=3*pi/2
用上述的辦法反向操作
令Y'=(X-(pi/2))(X-(3*pi/2))=X^2-(2*pi*X)+((3/4)*pi^2),求Y'的不定積Y=(X^3)/3-(pi*X^2)+((3/4)*pi^2*X)-------(1)
結果如下
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Y%3D%5B(X%5E3)%2F3%5D-(pi*X%5E2)+%2B%5B+(3%2F4)*pi%5E2*X%5D
可以看到圖形並不近似sinX
這是因為沒有確定振幅
所以我們把(1)式各X前都加上係數,Y=(a*(X^3)/3)-(b*(pi*X^2))+(c*((3/4)*pi^2*X))-------(2)
帶入邊界條件Y(pi/2)=1,Y(pi)=0,Y(3*(pi/2))=-1
如此(2)式的三個未知數a,b,c,有解如下
https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+%7B(a*(pi%2F2)%5E3*1%2F3)-(b*pi*(pi%2F2)%5E2)%2B(c*3%2F4*pi%5E2*pi%2F2)%3D1,(a*(pi%5E3)%2F3)-(b*pi*pi%5E2)%2B(c*3%2F4*pi%5E2*pi)%3D0,(a*(3pi%2F2)%5E3*1%2F3)-(b*pi*(3pi%2F2)%5E2)%2B(c*3%2F4*pi%5E2*3pi%2F2)%3D-1%7D
將a,b,c帶入(2)式
Y=((8/pi^3)*X^3/3)-((8/pi^3)*pi*X^2)+(64/(9*pi^3))*3/4*pi^2*X
近似值
得到一近似值
若還要求更精確的值,須帶入更多邊界條件,如Y(pi/6)=1/2
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若要求sinX在區間[0,infinite]的近似
先令Y'=(X-pi/2)(X-3*(pi/2))(X-5*(pi/2))...........
求Y'的不定積分
在X項前都帶入係數
帶入邊界值條件
求解N*N階矩陣
以上
