指數和拋物線比大小

Stallings
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樓主

2013-03-18 23:55

y = 2^x, x > 0
y = x^2, x > 0

1. 當 x 夠大 (設 ≥ n) 時，2^x 是否會恆大於 x^2？
2. 若會，求出 n。

指數和拋物線比大小不知如何著手
另 n = 4，這很直觀；但如果要用算的呢？怎麼做？

敬請指點迷津

2013-03-18 23:55 發佈

文章關鍵字指數拋物線大小

jly

jly
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2樓

2013-03-19 0:08

畫個 x-y 座標曲線圖看看 !

y = 2^x , 由(0,1)出發

y = x^2 , 由(0,0)出發

兩條線會在(2,4)及(4,16)兩點相交 !

Stallings

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樓主

2013-03-19 0:19

jly wrote:
畫圖...(恕刪)

只畫圖的話我就不用問了 XD
希望有代數解法

sqr0930

sqr0930
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4樓

2013-03-19 1:02

畫圖出來應該會有三個解(y=X^2-2^X)
兩個在第一象限
一個在第二象限

不知道第二象限的解有沒有特別的意義?

Harvey, Hearty, Happy, Honey~

Jedsxohe

Jedsxohe
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5樓

2013-03-19 1:19

2^x, 比上 x^2, x > 0
2^x 和 x^2 同時 ^(1/x)
2 和 x^(2/x) 同時開根號
2^(1/2) 和 x^(1/x) 比

然後可以証明 x^(1/x) 的最大值在 x=e,

微分 x^(1/x),
d/dx[ x^(1/x)] = (1- ln(x))* x^(1/(x-2)) ,
當 x=e, (1- ln(x))=0, d/dx[ x^(1/x)] =0 有最大值e^(1/e)=1.444667861

在 x=e時
2^(1/2)=1.414... < 1.444667861

在 x=e 附近時
2^x < x^2,

其他x>0 的時候,
2^x > x^2,

但這樣還沒求出n,

2^(1/2) 和 x^(1/x) 比
什麼時候 2^(1/2) = x^(1/x) ?
就是x=2 和 x=4時,
x=4, x^(1/x) =4 ^(1/4) = (4^(1/2))^(1/2) =2^(1/2),

所以, 在x=2~4之間時, 2^x < x^2,
else x>0 的時候, 2^x > x^2,