realestatepro wrote:
看來01還滿多愛挑戰...(恕刪)
T=0
R=7
E=9
L=8
A=4
G=1
N=6
B=3
O=2
經過第1次測量，可知某些球: a.必皆正常 b.可能含輕球 c.可能含重球 d.可能含輕或重球
b與c稱"已知屬性"，d稱"未知屬性"。
為了找出球的可行分配，考慮以下2個問題:
1.若只秤1次，就要在若干"未知屬性"的嫌疑球中決定瑕疵品，並知輕重，則嫌疑球最多幾個? 答: 1 個... 結論1
理由:若有2個未知屬性的球，則只秤1次時必皆上秤，但因屬性不知，無法區分輕重。超過2個球時，更不可能。
2.若只秤1次，就要在若干"已知屬性"的嫌疑球中決定瑕疵品，則嫌疑球最多幾個? 答: 2+1(如:2疑重1疑輕)或 3+0 (如:3疑重)個...結論2
理由:1個球在1次測量只有3個狀態(置左，置右，不放)。超過3個相同已知屬性的球(如4個疑似重球)，無法在1次測量中皆有不同狀態，則必有無法區分之情形。而3+1或2+2的分配因無法滿足"同屬性者狀態需不同，且異屬性者不得置於異側或皆不放"而無法靠只秤1次區分。2+1 與 3+0(及以下)只秤1次區分的方法簡單，不贅。
由以上，知若只秤1次，至多只能在3顆嫌疑球中，決定出瑕疵品...結論3
以下開始找"所有的可行方法":
A.考慮第1次左右各置3個球，若平衡則剩6個"未知屬性"的球，則第2次至少要取其中5個上秤(否則遺下2個以上"未知屬性"的球，依結論1，可能無法在第3次決定出瑕疵品)。但5個(以上)上秤者(必要時用正常球使兩側數量相等)，若結果為不平衡，則得到5個"已知屬性"的球，可能無法在第3次決定出瑕疵品(依結論3)。因此，第1次左右各置3個球必然失敗，而同理各置2或1個球亦不可行。
B.考慮第1次左右各置5個球，若不平衡則有了5個疑似輕球與5個疑似重球。這10個球在第2次至少要取其中7個上秤(否則遺下4個以上"已知屬性"的球，依結論3，可能無法在第3次決定出瑕疵品)。7個(以上)上秤者，若結果為不平衡，其中"不同屬性且置於異側者"為一組(如:左側2疑重與右側1疑輕為一組，其會造成相同結果--左傾)，而7球分至多2組時，至少有1組會超過3個。依結論3，將可能無法在第3次決定出瑕疵品。因此，第1次左右各置5個球必然失敗，而同理各置6個球亦不可行。
C.考慮第1次左右各置4個球:
C-1 若平衡，則剩4個"未知屬性"的球，則第2次取其中3個，且左右數量任意配(必要時用正常球使兩側數量相等)，皆可在第3次決定出瑕疵品。(依結論1與結論2)
C-2 若不平衡，則有了4個疑似輕球與4個疑似重球。這8個球，只要依照:不上秤者不得超過3個(依結論3)，上秤者"不同屬性且置於異側者"為一組(會造成相同結果)，1組不得超過 3+0 或 2+1 個 (如不得2疑重置左，2疑輕置右，成2+2)，必要時用正常球使兩側數量相等，則依結論2，皆可在第3次決定出瑕疵品。舉例:取4疑輕與1疑重上秤，3疑輕與1疑重置左側，1疑輕置右側(另用3顆正常球置右側)，此為3+0與1+1，依結論2，皆可在第3次決定出瑕疵品。其它可上秤者尚有4+2(4疑輕2疑重或4疑重2疑輕)，2+3，3+3等，而上秤者的數量分配法亦常有多種。
總結:
1.第1次左右各置4個球是唯一可行之法。
2.第1次若平衡，第2次有2種(只考慮"嫌疑球上秤的數量與分配")可行之法(一側數量+另一側數量:3+0，2+1，必要時用正常球使兩側數量相等)，隨之的第3次簡明，不贅。
3.第1次若不平衡，第2次有13種(只考慮"嫌疑球上秤的數量與分配")可行之法 (第1組左+右/第2組左+右:3+0/1+1,2+0/1+2,2+1/1+1,2+1/2+0,3+0/2+1,2+1/1+2,2+1/2+1;以上 6x2+1=13)，隨之的第3次簡明，不贅。
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雖然有些小題大作，上面的結論也可應用在第1題:8顆球，1球較重。
現在有8顆已知相同屬性的球。
依結論2，只秤1次是不可能的。
考慮秤2次: 第1次秤，只要左側，右側與不上秤球數皆不大於3，依結論2，第2次必可完成。
依此，針對第1題(8球問題)，第1次秤時左右各置3球為唯一的可行之法，且最少2次完成。
12顆球的解法, 先將球編號為1-12.
第一次分三堆, 1-4, 5-8, 9-12各一堆. 1-4與5-8相比, 三種結果.
case 1, 等重則問題球在 9-12 --- 這很簡單不討論
case 2, 1-4 比 5-8 輕
case 3, 1-4 比 5-8 重
case 2, 3 是對比的, 所以只討論case 2.
第二次比較, 前次結果為case 2 不是1-4中某個比較輕, 就是5-8某個比較重.
將 127 與 359 相比. 有三種情形.
case 1, 同重, 問題球只剩下 4, 6, 8 三顆.
case 2, 127 較重, 問題球剩下 7, 3 兩顆. -- 很簡單不討論
case 3, 127 較輕, 問題球剩下 1, 2, 5 三顆.
第三次比較, 前次結果為 case 1
4,6 比正常兩顆球, 若輕問題球為4, 若重問題球為6, 同重問題球為8.
第三次比較, case 3
2, 5 比正常兩顆球, 若輕問題球為2, 若重問題球為5, 同重問題球為1.
佩服!
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