Gercon wrote:
當我們來看這個問題 ...(恕刪)
一點看法
cypress大, 意思應該是無窮多個無限小加起來分別等於2跟1吧
另外, 兩個無窮大若再加上一些關係存在, 應該還是能比較出大小
不過一些細節還要再往下深入
1. 文中提到微積分基本定理是建立在實數系上的, (以下引用文章內容: 利用實數系的完備性以及極限的 與 定式，就可以證出連續函數的基本性質。例如中間值定理 (Intermediate Value Theorem)，在閉區間 [a,b] 上的連續函數是有界的、均勻連續的，並且取得最大值與最小值。由此，進一步可證出微積分根本定理。從而整個微積分堅實地奠定在實數系上面。) <-- 小弟的認知, 微積分基本定理是建立在實數系上, 那也許建立在有理數系, 或其他數系上會有不同的結果, 但這樣做未必更好, 另外文中也有提到實數系的完備性這一個重要特性
2. 以下引用文章內容: 兩個集合的元素個數一樣多，是什麼意思？康特利用對射 (bijective mapping or one to one correspondence) 的概念，來剖析無窮, 如果兩個集合之間存在有一個對射，則稱此兩集合的元素個數一樣多，或具有相同的基數 (cardinal number) <--樓主一開始的問題, 但說到元素個數一樣多則沒意義, 理由見之前討論
3. 最後還提到測度論
buzzbee wrote:
其實我們現在討論的東西，
只是分析學的入門常識而已。
只要找一本real analysis
就有滿意的解答。我在小孩的
書櫃上，隨手找了一本中文書裡，
也有詳盡的說明。(書不用太高深，
這本書是國一小朋友消遣時讀的)
書是項武義教授寫的「基礎分析學」，
他的第一章就把各數系都說清楚了，
第二章的名字就是「實數系和函數的連續性」。
這裡也明確的說出Q的困境，以及R的誕生過程。
接下來馬上就引入連續性了。所以想弄清楚這些觀念的網友，
不妨到書局找一本來瞧瞧。
在網路討論區裡談數學真的很無奈，
很多名辭都不能用，各種符號也不能打，
只能靠想像，但想像卻最危險，
一不注意就會想入非非，
而數學又是最嚴謹的，
一旦討論數學又無法用數學語言時，
真的頗為痛苦。
想像力才是最重要的啊!!
比起枯燥無味的數學式，很多真理都存在於文字中的邏輯啊!!
把問題釐清、發現問題並解決問題
如果沒有一定程度的想像力，一下子就被限制住了
嚴謹帶來的不只是完美，也很多不完美
了解定義定理，再由它們去了解更深沈的學問
一旦想通了、突破了，就能得到別人不能得到的東西
為什麼要討論根號3是實數還是無理數？
我認為還不必要討論到compact set這麼遠
先將根基打好底才是首要，也是需要常常討論
定義上來說，實數可以化成分子分母，無理數卻不能
由此可知，得到推敲根號3的方法
有時候，中文譯本會有認知的問題(不過比較有效率)
大陸那邊一版，台灣這邊一版
直接用原文比較不會有爭議
kenandine wrote:
還有幾個事實:
由給定的無限集合A
可一直創造出更高階的集合鏈:
|A1|<<|A2|<<|A3|<<...<<|An|<<....
只要
令A1="A的所有子集合 所組成的集合"
令A2="A1的所有子集合 所組成的集合"
令A3="A2的所有子集合 所組成的集合"
這裡怪怪的，無限集合A
是可數呢？還是不可數？還是收斂發散？
「子集合」，是怎麼樣的子集合？
是proper subset？還是其它類型的子集合？
太快了!!打個比方好了，proper subset(真子集)的描述
假設A 是 B的proper subset(真子集)，但是什麼是真子集？
請你畫個小圓，把它叫做A，再畫個大一點的圓把A包起來，叫它做B
但是注意不能讓大圓B把小圓A碰觸到，也就是大圓B上的實線不能碰到A
畫好了嗎？
再來，只要你能夠在這兩個圓之中，點一個黑點，注意，不能點在圓的實線上
只要能找到一個黑點x，讓它能夠被A圓包住，卻不被B圓包住，那麼
在這個被A圓包住卻不被B圓包住的範圍，我們叫A集合是B集合的真子集
沒了？問題才剛開始咧......畫在A圓內的點怎麼畫都會被B圓包住啊
但是黑點x是屬於A圓還是B圓？如果黑點x畫在A圓的實線上呢？
把A圓看成是"某些"正整數的集合，把B圓看成是"某些"整數的集合(整數有分正整數與負整數)
為什麼說A圓不能畫到B圓，如果A圓畫到B圓
表示A圓上其中一個元素x，在B圓上也找的到
請各位找給我，能夠在A圓上找到的元素x，在B圓上也找的到
從這之中，將A圓的實線視為集合的極限
那麼畫成虛線的圓代表什麼意思？
A - {1,2,3,5,7,8}
B - {1,2,3,.....}
這兩個集合有什麼不一樣？
有誰可以告訴我，你可不可以數一數這兩個括號裡有幾個數？
數不出來，可以叫做不可數嗎？
有了可數，不可數的概念
又
{A_11,A_12,A_13,A_14,.....}
{A_21,A_22,A_23,A_24,.....}
{A_31,A_32,A_33,A_34,.....}
{A_41,A_42,A_43,A_44,.....}
{....,....,....,....,.....}
又代表什麼意義呢？
慢慢堆，一點一點的堆起，最重要的是想一想、畫一畫、吵一吵也許會更好
kenandine wrote:
所以 若比N元素個數數量還多的
一定是無限不可數集合
第一個碰到的就是R
其實 我查網路資料發現:
並無法得知 該命題 對或不對!!!
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連續統假設
维基百科(有些符號消失了 請點選以下連結)
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E7%BB%9F%E5%81%87%E8%AE%BE
在數學中，連續統假設（簡稱CH）是一個猜想，也是希爾伯特的23個問題的第一題，由康托爾提出，關於無窮集的可能大小。其為：
不存在一個基數絕對大於可數集而絕對小於實數集的集合。
康托爾引入了基數的概念以比較無窮集間的大小，也證明了整數集的基數絕對小於實集的基數。康托爾也就給了出連續統假設，就是說，在無限集中，比自然數集{1，2，3，4......}基數大的集合中，基數最小的集合是實數集。而連續統就是實數集的一個舊稱。
更加形式地說，自然數集的基數為N0。而連續統假設的觀點認為實數集的基數為N1。由是，康托爾定義了絕對無限。
等價地，整數集的序數是 ("艾禮富數")而實數的序數是，連續續假設指出不存在一個集合S使得....
假設選擇公理是對的，那就會有一個最小的基數大於，而連續統假設也就等價於以下的等式：
連續統假設有個更廣義的形式，叫作廣義連續統假設（GCH），其命題為：
對於所有的序數α,
庫爾特·哥德爾在1940年用內模型法證明了連續統假設與ZFC的相對協調性，保羅·柯恩在1963年用力迫法證明了連續統假設不能由ZFC推導。也就是說連續統假設成立與否無法由ZFC確定。
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