((有趣的問題)) 正整數與整數哪一類比較多? (第5頁)

SKAQQ
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41樓

2011-07-07 23:18

buzzbee wrote:
Q集合其實非常的空，
甚至你可以說，Q裡的任何一個數的鄰域裡
就有無限多個空點。但是R卻是緊緻的，
再小的鄰域裡都找得到其他屬於R的點！
這也造成在Q裡[0,1]的測度是0，
但在R裡[0,1]的測度是1。
在一個處處是斷點的集合中所定義的函數，
除非有特殊定義，不然怎麼能討論連續性呢？

可以換成英文嗎？......中文反而看不懂
緊緻？測度？
===================================================
問:證明根號3是無理數，可以藉此了解一些現象與問題
什麼是有理數？無理數？實數？複數？
通常大家都只知道定義，其實後頭還有很多學問
藉由觀察和推理，長期訓練下來可以發現思路會清晰(打結的也有)

C U again

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樓主

2011-07-08 0:07

buzzbee wrote:
例如，你可以輕易的在定義於R裡的函數，
探討其連續性、可微性。
但是定義域如果換成所有有理數所成的集合，
這樣還能討論啥連續性、可微性？

以我的認知
f:Q-->R 可能是連續甚至可微喔
例如f(x)=x

因為定義域已經變成只有Q了
就不必擔心Q'的連續性、可微性

大大們以為呢?

C U again

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樓主

2011-07-08 0:16

SKAQQ wrote:
緊緻？測度？...
什麼是有理數？無理數？實數？複數？

compact
measure

據我所知
先有1單位長度
得到所有正整數N
再得到所有負整數

再得到可以n/m度量的分數(有理數Q)
再由直角三角形得到不能以n/m表示的數(無理數Q')
由R完備性得到R
再得到C
再得到更大的"體"

再來就是高等代數所提的 "群環體"--->超難超抽象!!!!!!^^

"數系推廣"觀念清晰的大大們
請修正或補充

buzzbee

buzzbee
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44樓

2011-07-08 8:04

其實我們現在討論的東西，
只是分析學的入門常識而已。
只要找一本real analysis
就有滿意的解答。我在小孩的
書櫃上，隨手找了一本中文書裡，
也有詳盡的說明。(書不用太高深，
這本書是國一小朋友消遣時讀的)
書是項武義教授寫的「基礎分析學」，
他的第一章就把各數系都說清楚了，
第二章的名字就是「實數系和函數的連續性」。
這裡也明確的說出Q的困境，以及R的誕生過程。
接下來馬上就引入連續性了。所以想弄清楚這些觀念的網友，
不妨到書局找一本來瞧瞧。

在網路討論區裡談數學真的很無奈，
很多名辭都不能用，各種符號也不能打，
只能靠想像，但想像卻最危險，
一不注意就會想入非非，
而數學又是最嚴謹的，
一旦討論數學又無法用數學語言時，
真的頗為痛苦。

cypress626

cypress626
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45樓

2011-07-08 8:47

whahaha wrote:
還是會有問題首先，原...(恕刪)

我不覺得原算式的關係是假設耶，一個正整數會對應有兩個整數，這是明顯且正確的關係吧。既然兩式有關係，自然就可以算下去了。

不然拿張紙畫個x軸，分別把正整數跟整數都點出來，左右無限延伸，應該很容易想像整數是正整數兩倍。

定義應該要能概括所有，大大說的第二種方法，如果N=6要怎玩呢?

我是覺得這種顯而易見的問題，用數學來玩實在很無聊...就跟挑戰1+1=2一樣

sbi

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46樓

2011-07-08 9:20

cypress626 wrote:
我不覺得原算式的關係...(恕刪)

根據buz大所說的, 跟樓主所提的問題做點連結
比較像是想知道cypress兄所描述的問題
Z的元素有2n+1, 其中n->oo
Z中的"子集合"N就有n個, 其中n->oo
所以元素數量比 2n+1/n -> 2, 其中n->oo
當能夠用某種規則做1 to 1 mapping時, 表示上述問題的答案是有限的

類似的問題
R跟R的子集合Q
|R|/|Q|=oo
(我昨天在網路查到一個教授的比喻, 一個摸彩箱, 裡面標的是R的球, "從中"摸出標Q的球的機率是0)

但任兩個無限大的集合, 如Z跟N, 但N沒有說是Z的子集合(或其他關係)時
問題就變成2n+1/m -> ??, 其中n, m->oo
如whawawa大所說的, n,m沒有關係, 所以無意義

Gercon

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47樓

2011-07-08 9:24

cypress626 wrote:
我不覺得原算式的關係是假設耶，一個正整數會對應有兩個整數，這是明顯且正確的關係吧。既然兩式有關係，自然就可以算下去了。
不然拿張紙畫個x軸，分別把正整數跟整數都點出來，左右無限延伸，應該很容易想像整數是正整數兩倍。...(恕刪)

無窮大是個很好玩的東西
在無窮大的世界裡
所有的運算不見得都存在

一公分跟兩公分的線段上面的點誰比較多?
如果兩公分上的點是一公分的兩倍
那就代表'兩公分無窮大'是'一公分無窮大'的兩倍
這似乎會造成有比'無窮大'還大的東西存在

Cantor提出一個很好的判斷來決定無窮集合的大小
-> 如果能與自然數一一映射的就是可數無窮集合
換句話說
如果您能找到一個方法
證明整數集合內元素對應完所有自然數後
還有其他的整數存在
那就可以說整數是不可數無窮集合

cypress626

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48樓

2011-07-08 9:37

Gercon wrote:
無窮大是個很好玩的東...(恕刪)

這就是微積分阿

一公分與兩公分可以有無限多點，我可以不知道裡面有幾個點，只要知道這些點積分起來是1公分與兩公分就好了。同理可得正整數比整數=1:2

sbi

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49樓

2011-07-08 9:45

buzzbee wrote:
Q集合其實非常的空，...(恕刪)

所以是因為連續性"感覺"跟R比較速配? (因為R比Q密多了)
抱歉我用一個有點隨便的講法

但感覺只是"想不想"這麼定義的問題, 而不是說把R換成Q
會有本身邏輯上的矛盾,或者因此難以定義極限等等原因
當然除了"R比Q密", R應該也比較符合大家在現實世界所遇到的情況?

Gercon

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50樓

2011-07-08 9:56

當我們來看這個問題 lim (2n+1)/n, n->無窮大
為什麼不是用n=無窮大
而是用 n趨近於無窮大 ?

因為若 n=無窮大 2n+1也會是無窮大
無窮大無法比大小
所以我們用'趨近於'這樣的想法
來觀察 (2n+1)/n 的趨勢

但討論整數或自然數集合的元素時
他們的個數可不是只有趨近於無窮大而已
所以自然不能套用lim的觀念

------
如果您認為'兩公分無窮大'是'一公分無窮大'的兩倍
那就代表有比'一公分無窮大'還大的東西存在
與無窮大的定義似乎不合

微積分裡面 dx只是表示非常小的x線段
並不代表是一個點
否則如何乘出面積來相加

((有趣的問題)) 正整數 與 整數 哪一類比較多?

((有趣的問題)) 正整數與整數哪一類比較多?